Les équations du premier degré : trouver la valeur cachée de x

Imagine une balance à deux plateaux parfaitement équilibrée. Le signe « = » est le point central de la balance. À gauche tu poses « 3x + 5 », à droite « 20 ». Comme la balance est équilibrée, les deux plateaux pèsent pareil. Le « x » est une boîte fermée : tu ne sais pas encore ce qu'il y a dedans, et ton travail est de découvrir le poids d'UNE boîte.

Résoudre une équation, c'est répondre à la question : « Par quel nombre dois-je remplacer x pour que les deux côtés soient vraiment égaux ? »

Une **équation** est une égalité contenant au moins un nombre inconnu, appelé **inconnue** et noté en général **x**.

- Le signe **=** sépare deux **membres** : le membre de gauche et le membre de droite.

- Un **terme** est un morceau séparé par + ou − (dans 3x + 5, les termes sont « 3x » et « 5 »).

- Le nombre collé devant x est le **coefficient** (dans 3x, le coefficient est 3).

Une équation est dite **du premier degré** quand l'inconnue x apparaît seulement à la puissance 1 : pas de x² (x au carré), pas de √x. Sa forme générale est **ax + b = 0** avec a ≠ 0.

À quoi ça sert ? Dès qu'une situation contient une quantité inconnue reliée à des quantités connues (un prix, une distance, un âge), on la traduit par une équation et on la résout pour trouver l'inconnue.

Vérifions que x = 5 est bien la solution de **3x + 5 = 20**.

1. On remplace x par 5 dans le membre de gauche : 3 × 5 + 5. *(Pourquoi ? Tester une valeur, c'est la mettre à la place de x partout.)*

2. On calcule : 3 × 5 = 15, puis 15 + 5 = 20.

3. Le membre de gauche vaut 20, le membre de droite vaut 20. *(Pourquoi c'est important ? 20 = 20 est vrai, donc l'égalité tient.)*

4. Conclusion : x = 5 est bien solution.

1. Repère le signe « = » : il coupe l'équation en deux membres.

2. Identifie l'inconnue (la lettre) et son coefficient (le nombre devant).

3. Vérifie que c'est bien du premier degré : pas de x², pas de racine.

4. Pour tester une valeur : remplace x par ce nombre dans CHAQUE membre et compare les résultats.

5. Si les deux membres donnent le même nombre, la valeur est solution ; sinon, non.

- Confondre une équation (avec un =, on cherche x) et une simple expression (3x + 5, qu'on ne fait que calculer).

- Croire que x veut toujours dire « multiplier » : ici x est une lettre, une inconnue, pas le signe ×.

- Oublier le coefficient : dans 3x, le 3 multiplie x ; « 3x » ne veut pas dire « 3 et x côte à côte » mais « 3 fois x ».

- Tester une valeur dans un seul membre et oublier de comparer avec l'autre.

Reprends la balance équilibrée. Si tu enlèves 5 grammes du plateau de gauche mais rien à droite, la balance penche : elle n'est plus juste. Pour qu'elle reste équilibrée, tu dois enlever 5 grammes des DEUX plateaux en même temps. Une équation, c'est pareil : tout ce que tu fais d'un côté du « = », tu dois le faire de l'autre côté, exactement pareil.

Le **principe d'équilibre** (ou principe d'équivalence) dit qu'une égalité reste vraie si on applique la même opération aux deux membres :

- ajouter le même nombre aux deux membres,

- soustraire le même nombre aux deux membres,

- multiplier les deux membres par un même nombre (≠ 0),

- diviser les deux membres par un même nombre (≠ 0).

Cela donne aussi la règle pratique du **« passage de l'autre côté »** : déplacer un terme de l'autre côté du = revient à lui appliquer l'opération inverse, donc à **changer son signe** (un + devient −, un − devient +). C'est juste un raccourci du principe de la balance.

À quoi ça sert ? C'est l'outil de base : il permet de « nettoyer » petit à petit l'équation jusqu'à ce que x soit seul.

Résolvons **x + 7 = 12**.

1. Objectif : isoler x, donc faire disparaître le « + 7 » à gauche. *(Pourquoi ? On veut x tout seul.)*

2. L'opération inverse de « + 7 » est « − 7 ». On soustrait 7 aux DEUX membres : x + 7 − 7 = 12 − 7. *(Pourquoi des deux côtés ? Pour garder la balance équilibrée.)*

3. À gauche : 7 − 7 = 0, il reste x. À droite : 12 − 7 = 5.

4. On obtient x = 5. *(Pourquoi c'est fini ? x est isolé.)*

5. Vérification : 5 + 7 = 12. ✓

1. Demande-toi : qu'est-ce qui « gêne » à côté de x ?

2. Identifie l'opération qui relie ce terme à x (addition, soustraction…).

3. Applique l'opération INVERSE.

4. Applique-la aux DEUX membres en même temps.

5. Simplifie chaque membre.

6. Recommence tant que x n'est pas seul.

- Appliquer l'opération à un seul membre : « x + 7 = 12 donc x = 12 » (faux, on a oublié de retirer 7 à droite).

- Déplacer un terme sans changer son signe : « x + 7 = 12 donc x = 12 + 7 = 19 » (faux : + 7 devient − 7).

- Mélanger les opérations : retirer 7 à gauche mais ajouter 7 à droite.

Maintenant x n'est plus seul : il est « accroché » à un nombre par une multiplication, comme 3x (3 fois x), ou par une division, comme x/2 (x divisé par 2). Pour libérer x, on défait l'accroche avec l'opération inverse. Si x est multiplié par 3, on divise par 3 ; si x est divisé par 2, on multiplie par 2.

Une fois que x est seul d'un côté mais multiplié par son **coefficient** a, on obtient une forme **ax = c**. Pour isoler x, on **divise les deux membres par a** (à condition que a ≠ 0) :

ax = c ⇒ x = c / a.

De même, si l'équation est **x / b = c**, on **multiplie les deux membres par b** : x = c × b.

C'est la dernière étape de presque toutes les résolutions : après avoir rangé les nombres d'un côté, il reste à « enlever » le coefficient de x par une division.

Résolvons **5x = 35**.

1. x est multiplié par 5. *(Pourquoi regarder ça ? L'opération qui gêne est « ×5 ».)*

2. L'opération inverse de « ×5 » est « ÷5 ». On divise les DEUX membres par 5 : 5x / 5 = 35 / 5.

3. À gauche : 5x / 5 = x (le 5 du haut et le 5 du bas s'annulent). À droite : 35 / 5 = 7.

4. On obtient x = 7.

5. Vérification : 5 × 7 = 35. ✓

Deuxième exemple : **x / 4 = 3**.

1. x est divisé par 4. L'inverse est « ×4 ».

2. On multiplie les deux membres par 4 : (x / 4) × 4 = 3 × 4.

3. À gauche il reste x ; à droite 3 × 4 = 12. Donc x = 12.

4. Vérification : 12 / 4 = 3. ✓

1. Regarde comment x est relié à son nombre : multiplié (ax) ou divisé (x/b) ?

2. Si x est multiplié par a → divise les deux membres par a.

3. Si x est divisé par b → multiplie les deux membres par b.

4. Simplifie : du côté de x il doit rester x tout seul.

5. Vérifie en remplaçant x par le résultat.

- Pour 5x = 35, soustraire 5 au lieu de diviser par 5 (on confond × avec +).

- Écrire x = 35 × 5 = 175 alors qu'il faut diviser : x = 35 / 5 = 7.

- Pour x/4 = 3, diviser encore par 4 au lieu de multiplier.

- Oublier que diviser par un nombre négatif (ex. −2x = 8 → x = 8 / (−2) = −4) ne change PAS la méthode : on divise simplement par −2.

Les vraies équations mélangent tout : des x et des nombres des deux côtés, par exemple 2x − 7 = 3x + 1. L'idée reste simple : on range. On met tous les x d'un même côté (comme on regroupe les chaussettes ensemble) et tous les nombres de l'autre côté. Ensuite on isole x comme dans le chapitre précédent, et on VÉRIFIE pour être sûr.

La **stratégie générale** pour une équation du premier degré :

1. (Si besoin) développer les parenthèses.

2. Regrouper les termes en x dans un membre, les termes constants (les nombres seuls) dans l'autre, en changeant les signes lors du passage.

3. **Réduire** chaque membre (additionner les x entre eux, les nombres entre eux).

4. Diviser par le coefficient de x.

5. **Vérifier** : remplacer x par la valeur trouvée dans l'équation de DÉPART et contrôler que les deux membres sont égaux.

La vérification n'est pas une option : c'est elle qui prouve que la solution est correcte et qui rattrape les erreurs de signe.

Résolvons **2x − 7 = 3x + 1**.

1. Regroupons les x à droite (là où il y en a le plus, pour garder un coefficient positif) : on retire 2x aux deux membres. À gauche : 2x − 7 − 2x = −7. À droite : 3x + 1 − 2x = x + 1. On a donc −7 = x + 1. *(Pourquoi retirer 2x ? Pour rassembler les x.)*

2. Faisons passer le « + 1 » à gauche en le soustrayant des deux membres : −7 − 1 = x, soit −8 = x. *(Pourquoi ? Pour isoler x.)*

3. Donc x = −8. Le coefficient de x était déjà 1, pas besoin de diviser.

4. **Vérification** dans l'équation de départ : membre de gauche 2 × (−8) − 7 = −16 − 7 = −23 ; membre de droite 3 × (−8) + 1 = −24 + 1 = −23. Les deux valent −23. ✓

Deuxième exemple avec parenthèses : **3(x + 2) = 18**.

1. Développer : 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6, donc 3x + 6 = 18.

2. Soustraire 6 des deux côtés : 3x = 12.

3. Diviser par 3 : x = 4.

4. Vérification : 3 × (4 + 2) = 3 × 6 = 18. ✓

1. Développe les parenthèses s'il y en a.

2. Déplace tous les x d'un côté (change leur signe en passant).

3. Déplace tous les nombres de l'autre côté.

4. Réduis chaque membre (regroupe les x ensemble, les nombres ensemble).

5. Divise par le coefficient de x.

6. Vérifie en remplaçant x dans l'équation de départ.

- Oublier de changer le signe d'un terme quand il passe de l'autre côté (ex. 3x + 1 devient « +1 » à gauche au lieu de « −1 »).

- Mal développer : 3(x + 2) = 3x + 2 au lieu de 3x + 6 (on oublie de multiplier le 2).

- Additionner un x avec un nombre : « 2x + 3 = 5x » est faux, 2x et 3 ne se regroupent pas.

- Sauter la vérification et garder une erreur de signe.

- Diviser b par a au lieu de (−b) dans ax + b = 0.