Le théorème de Thalès : calculer des longueurs avec des droites parallèles

Imagine deux routes droites qui partent d'un même carrefour et s'écartent l'une de l'autre, comme les deux branches d'un « V ». Maintenant, tu poses deux barrières parallèles en travers de ce V : une petite près du carrefour, une grande plus loin. Le théorème de Thalès, c'est l'outil qui te dit que la petite barrière et la grande barrière gardent les **mêmes proportions** que les morceaux de route. Mais avant de calculer quoi que ce soit, il faut d'abord **reconnaître** que tu es bien dans cette situation. C'est ça, tout ce chapitre : savoir dire « oui, c'est une configuration de Thalès » en regardant une figure.

Il existe deux dessins possibles pour cette même situation :

- La configuration **« triangle » (ou emboîtée)** : les deux barrières sont du même côté du carrefour, un petit triangle rangé dans un grand.

- La configuration **« papillon » (ou nœud)** : les barrières sont de part et d'autre du carrefour, et les deux triangles forment deux ailes qui se touchent en un point, comme un nœud papillon.

**Définition rigoureuse.** On est dans une configuration de Thalès quand on a :

1. **Deux droites sécantes**, c'est-à-dire deux droites qui se coupent en un point unique. Appelons ce point **A** (le « carrefour », aussi appelé sommet).

2. **Deux autres droites parallèles** qui coupent chacune ces deux premières droites.

Sur la première droite, la parallèle n°1 coupe en **B**, la parallèle n°2 coupe en **M**. Sur la seconde droite, elles coupent en **C** et **N**. Les points **B, M** sont donc alignés avec A, et **C, N** sont alignés avec A. La condition clé est : **(BC) est parallèle à (MN)**.

**Vocabulaire à décoder :**

- *Sécantes* : qui se croisent (contraire de parallèles).

- *Alignés* : sur une même droite.

- Le **sommet A** est le point commun aux deux droites sécantes ; c'est toujours autour de lui que tourne la figure.

**À quoi ça sert ?** Reconnaître la configuration est l'étape indispensable AVANT d'écrire l'égalité des rapports (AM/AB = AN/AC = MN/BC). Si la configuration n'existe pas (droites non parallèles, ou point de coupure mal placé), le théorème ne s'applique pas et écrire les rapports donnerait un résultat FAUX. On apprend donc ici à ne pas appliquer Thalès « au hasard ».

**Triangle vs papillon — la vraie différence géométrique :**

- **Triangle** : les points M et B sont du **même côté** de A (A, M, B alignés dans cet ordre ou A, B, M). Idem pour N et C. Les deux segments parallèles sont du même côté.

- **Papillon** : A est **entre** les deux segments parallèles. On a l'ordre B, A, M sur une droite et C, A, N sur l'autre : le sommet A est coincé au milieu, et les deux triangles pointent en sens opposés.

**Figure proposée.** Deux droites (d) et (d') se coupent en A. Sur (d) on lit dans l'ordre : A, puis M, puis B. Sur (d') on lit dans l'ordre : A, puis N, puis C. On sait que (MN) // (BC).

**Étape 1 — Chercher le point de croisement des deux droites porteuses.**

Je repère A, où (d) et (d') se coupent. *Pourquoi ?* Parce que le sommet commun est le centre de toute configuration de Thalès ; sans lui, pas de configuration.

**Étape 2 — Vérifier qu'il y a bien deux parallèles qui traversent les deux droites.**

(MN) coupe (d) en M et (d') en N. (BC) coupe (d) en B et (d') en C. Et l'énoncé dit (MN) // (BC). *Pourquoi c'est décisif ?* Le parallélisme des deux segments est la condition qui « verrouille » Thalès ; c'est LUI qui garantit les proportions.

**Étape 3 — Situer A par rapport aux deux segments parallèles.**

Sur (d), l'ordre est A, M, B : donc M et B sont du **même côté** de A. Sur (d'), l'ordre A, N, C : même chose. A n'est PAS entre les segments. *Pourquoi je regarde ça ?* C'est ce qui distingue triangle et papillon.

**Étape 4 — Conclure le type.**

Comme A n'est pas au milieu et que les deux triangles (petit AMN, grand ABC) sont emboîtés, c'est une **configuration triangle**. Le petit triangle AMN est rangé dans le grand ABC.

**Étape 5 — Nommer les rapports (dans le bon ordre).**

On associe les points qui se correspondent : A↔A, M↔B (sur d), N↔C (sur d'). L'égalité de Thalès s'écrira : AM/AB = AN/AC = MN/BC. *Pourquoi cet ordre ?* Chaque rapport compare le petit segment (vers M ou N) au grand segment (vers B ou C) partant du même sommet A. Mélanger l'ordre casse l'égalité.

**Variante papillon.** Si l'énoncé avait dit : sur (d) l'ordre est M, A, B et sur (d') l'ordre est N, A, C, avec (MN)//(BC), alors A serait **entre** les deux segments : c'est la **configuration papillon**. Les rapports restent AM/AB = AN/AC = MN/BC, mais attention : ici les longueurs se lisent de part et d'autre de A.

Quand tu regardes une figure et que tu veux savoir si c'est du Thalès :

1. **Repère le point où deux droites se coupent** → c'est le sommet A (le carrefour). Si aucune droite ne se croise, ce n'est pas Thalès.

2. **Cherche deux segments (ou droites) qui semblent parallèles** et qui coupent chacun les deux droites du sommet. Vérifie dans l'énoncé la mention « // » ou un codage de parallélisme (petites flèches identiques).

3. **Vérifie l'alignement** : les trois points de chaque droite (le sommet + un point de chaque parallèle) doivent être alignés. Si un point n'est pas sur la droite, la configuration est cassée.

4. **Regarde où est le sommet A** :

- si A est **d'un seul côté** des deux parallèles → **triangle** (emboîté) ;

- si A est **entre** les deux parallèles → **papillon** (nœud).

5. **Associe les points correspondants** sommet par sommet (A avec A, petit avec grand sur chaque droite) avant d'écrire les rapports.

6. **Seulement maintenant**, écris l'égalité des trois rapports.

- **Confondre « les segments ont l'air parallèles » et « ils sont parallèles ».** Sur un dessin, deux traits peuvent sembler parallèles sans l'être. Tant que l'énoncé ne l'affirme pas (mot « parallèle » ou codage), tu n'as PAS le droit d'appliquer Thalès. Beaucoup d'élèves perdent tous leurs points ici.

- **Prendre le mauvais sommet.** Le sommet A est le point commun aux deux droites **sécantes**, pas un point quelconque de la figure. En papillon surtout, on croit à tort que le sommet est une extrémité alors qu'il est au centre du nœud.

- **Croire que papillon = pas de Thalès.** Le papillon EST une configuration de Thalès valide, autant que le triangle. On l'oublie car il ne « ressemble » pas à un triangle unique.

- **Écrire les rapports dans le désordre**, par exemple AM/AC au lieu de AM/AB. Il faut rester sur la même droite pour le haut et le bas d'un rapport partant de A : AM et AB sont tous deux sur (d), AN et AC tous deux sur (d').

- **Mélanger petit et grand triangle.** Mettre une longueur du grand triangle en haut et une du petit en bas inverse le rapport et donne une réponse fausse même si la configuration était bien reconnue.

Imagine deux échelles posées contre le même mur, l'une plus courte, l'autre plus longue, mais toutes les deux inclinées exactement pareil. Si la petite échelle monte 3 fois moins haut, alors elle est aussi 3 fois moins large au sol et son montant est 3 fois plus court. **Le même facteur de réduction agit sur TOUTES les longueurs en même temps.**

Le théorème de Thalès dit exactement ça : dans une figure avec deux droites parallèles qui coupent deux droites sécantes, le petit triangle est une réduction (ou un agrandissement) du grand. Écrire « l'égalité des trois rapports », c'est simplement écrire ce facteur de trois façons : côté sur côté, deuxième côté sur côté, base sur base — et les trois donnent le même nombre.

Le piège n'est pas de comprendre l'idée, c'est de **ne pas mélanger les longueurs** quand on écrit la fraction. Ce chapitre te donne la règle pour ranger chaque longueur à sa place.

**Configuration.** Deux droites sécantes se coupent en un point A. Sur la première, on place les points B et M ; sur la seconde, les points C et N. Si les droites (BC) et (MN) sont **parallèles**, alors le théorème de Thalès donne :

$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$$

**Ce que veut dire chaque symbole.**

- A est le **sommet commun** (le point d'intersection des deux droites) : c'est le pivot de toute la figure.

- AM et AB sont deux longueurs **sur la même droite** ; AN et AC aussi, sur l'autre droite.

- MN et BC sont les deux segments **parallèles** (les « bases » des deux triangles).

**Le principe qui empêche l'erreur.** Chaque rapport se lit toujours *petit triangle sur grand triangle*, et **on ne mélange jamais les deux droites dans une même fraction**. Les trois rapports sont égaux parce qu'ils représentent tous le même coefficient d'agrandissement/réduction *k* entre les deux triangles AMN et ABC.

**À quoi ça sert.** Une fois l'égalité correctement écrite, tu peux calculer une longueur inconnue par produit en croix. Mais si l'égalité est fausse (longueurs mal rangées), tout le calcul est faux même si les opérations sont justes. Écrire correctement les trois rapports est donc l'étape qui décide de la réussite.

**Énoncé.** A, M, B alignés dans cet ordre ; A, N, C alignés dans cet ordre. (MN) est parallèle à (BC). On donne : AM = 4 cm, AB = 6 cm, AN = 5 cm, BC = 9 cm. On veut AC et MN.

**Étape 1 — Repérer le sommet commun.** Le sommet est A car c'est lui qui apparaît dans les deux alignements. *Pourquoi ?* Toutes les longueurs « côtés » doivent partir de A pour que les triangles se correspondent.

**Étape 2 — Ranger les longueurs par droite.**

- Droite 1 (celle des points B et M) : AM = 4 et AB = 6.

- Droite 2 (celle des points C et N) : AN = 5 et AC = ?

- Segments parallèles : MN = ? et BC = 9.

*Pourquoi ?* Cette liste sépare physiquement ce qui va au numérateur (petit triangle : AM, AN, MN) et au dénominateur (grand triangle : AB, AC, BC).

**Étape 3 — Écrire l'égalité, petit sur grand.**

$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{AC} = \dfrac{MN}{9}$$

*Pourquoi ?* Chaque numérateur touche A à un point proche (M, N) ; chaque dénominateur va jusqu'au point loin (B, C). Aucune fraction ne mélange la droite 1 et la droite 2.

**Étape 4 — Calculer AC par produit en croix.** On utilise $\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{AC}$ :

$$AC = \dfrac{6 \times 5}{4} = \dfrac{30}{4} = 7{,}5 \text{ cm}$$

*Pourquoi ?* Produit en croix : $4 \times AC = 6 \times 5$, donc on isole AC. Vérification de bon sens : AC (7,5) doit être plus grand que AN (5), c'est le cas. ✓

**Étape 5 — Calculer MN.** On utilise $\dfrac{4}{6} = \dfrac{MN}{9}$ :

$$MN = \dfrac{4 \times 9}{6} = \dfrac{36}{6} = 6 \text{ cm}$$

*Pourquoi ?* MN est dans le petit triangle, il doit être plus petit que BC (9) : 6 < 9 ✓. Le coefficient de réduction est $k = 4/6 \approx 0{,}67$, cohérent partout.

1. **Quand tu vois deux droites qui se croisent + deux parallèles**, entoure d'abord le **point commun A** : c'est le point de départ de toutes les longueurs « côtés ».

2. **Fais deux paquets**, un par droite sécante : sur chaque droite, note la longueur courte (de A au point proche) et la longueur longue (de A au point loin).

3. **Repère les deux segments parallèles** : ils forment le troisième rapport (petit segment / grand segment).

4. **Écris chaque fraction « petit triangle sur grand triangle »** : numérateur = longueur qui va vers le point proche de A, dénominateur = longueur qui va jusqu'au point loin.

5. **Vérifie que dans chaque fraction, les deux lettres du dénominateur contiennent celles liées au même bout** : jamais AM/AC (deux droites différentes mélangées).

6. **Choisis les DEUX rapports qui contiennent ton inconnue et une fraction entièrement connue**, puis fais le produit en croix.

7. **Contrôle la vraisemblance** : une longueur du petit triangle est plus courte que sa correspondante du grand.

- **Mélanger les deux droites dans une fraction.** Écrire $\dfrac{AM}{AC}$ est faux : AM est sur la droite des B, AC sur la droite des C. Une fraction correcte reste sur une seule droite (AM/AB) ou compare les deux parallèles (MN/BC).

- **Mettre le grand sur le petit dans un rapport et le petit sur le grand dans un autre.** Si tu écris $\dfrac{AM}{AB}$ (petit/grand), tu dois écrire $\dfrac{AN}{AC}$ et $\dfrac{MN}{BC}$ aussi en petit/grand. On ne retourne pas une seule fraction.

- **Oublier que le sommet A doit être commun aux trois fractions du haut.** Les numérateurs AM, AN, MN sont tous du petit triangle qui « touche » A ; si tu prends MB au lieu de AM, tu ne mesures plus depuis le sommet.

- **Confondre l'ordre des points dans le nom du segment parallèle.** MN et BC doivent se correspondre : M face à B, N face à C. Écrire $\dfrac{MN}{CB}$ n'est pas grave (même longueur), mais associer MN à autre chose que la vraie base opposée fausse la lecture.

- **Faire le produit en croix sur deux rapports dont aucun n'est entièrement connu.** Il faut toujours une fraction avec ses deux valeurs (ici 4/6) pour pouvoir résoudre ; sinon il reste deux inconnues et le calcul est bloqué.

Imagine deux photos du même paysage : une petite et une grande, agrandie à la photocopieuse. Sur les deux, l'arbre reste 2 fois plus haut que la maison. Les proportions ne changent pas, seule la taille change.

Le théorème de Thalès dit exactement ça : quand deux droites sont coupées par des parallèles, les longueurs se répondent dans les mêmes proportions. Le **produit en croix** est simplement l'outil de calcul qui te permet de retrouver une longueur qui te manque, à partir de trois longueurs connues rangées dans une égalité de fractions.

En clair : si tu sais que 3 morceaux forment une proportion, tu peux toujours retrouver le 4ᵉ.

Quand le théorème de Thalès s'applique (droites (BC) et (MN) parallèles, points alignés A, M, B et A, N, C), on obtient une **égalité de trois rapports** :

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

Une **égalité de deux fractions** s'appelle une *proportion*. Le produit en croix est la propriété suivante :

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad\Longleftrightarrow\quad a \times d = b \times c$$

On multiplie « en diagonale » : le numérateur de l'une par le dénominateur de l'autre. Ces deux produits sont toujours égaux.

**À quoi ça sert ?** Dans une proportion, une seule des quatre longueurs est inconnue (appelons-la $x$). Le produit en croix transforme la proportion en une équation simple du type $b \times x = a \times d$, qu'on résout en divisant. C'est LA technique pour trouver une longueur inaccessible à la règle : hauteur d'un arbre, largeur d'une rivière, dimension sur un plan.

**Données :** Dans un triangle ABC, M est sur [AB] et N sur [AC], avec (MN) parallèle à (BC).

On connaît : AM = 4 cm, AB = 6 cm, AN = 5 cm. On cherche **AC**.

**Étape 1 — Écrire l'égalité de Thalès avec les bons rapports.**

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$$

*Pourquoi ?* On choisit les deux rapports qui contiennent notre inconnue (AC) et les trois longueurs connues. Ici : AM, AB, AN connus, AC inconnu.

**Étape 2 — Remplacer par les valeurs.**

$$\frac{4}{6} = \frac{5}{AC}$$

*Pourquoi ?* On veut une proportion avec un seul inconnu. C'est le cas : parfait pour le produit en croix.

**Étape 3 — Appliquer le produit en croix.**

$$4 \times AC = 6 \times 5$$

*Pourquoi ?* On multiplie en diagonale : le 4 (haut gauche) par AC (bas droite), et le 6 (bas gauche) par 5 (haut droite). Les deux produits sont égaux.

**Étape 4 — Calculer le produit connu.**

$$4 \times AC = 30$$

*Pourquoi ?* $6 \times 5 = 30$ : on simplifie le côté entièrement connu.

**Étape 5 — Isoler l'inconnue en divisant.**

$$AC = \frac{30}{4} = 7{,}5 \text{ cm}$$

*Pourquoi ?* AC est multiplié par 4 ; pour l'obtenir seul, on divise les deux côtés par 4.

**Vérification (interprétation) :** AC = 7,5 cm est bien plus grand que AN = 5 cm, ce qui est logique car AB (6) est plus grand que AM (4) : le grand triangle contient le petit. Cohérent.

1. **Quand tu vois deux droites parallèles coupant deux sécantes** → écris d'abord l'égalité de Thalès complète : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

2. **Quand tu dois choisir tes deux fractions** → garde uniquement les deux rapports qui contiennent l'inconnue et 3 longueurs connues. Ignore le 3ᵉ rapport s'il apporte deux inconnues.

3. **Quand tu as ta proportion $\frac{a}{b}=\frac{c}{x}$** → multiplie en croix : $a \times x = b \times c$.

4. **Quand l'inconnue est multipliée par un nombre** → divise le produit connu par ce nombre : $x = \frac{b \times c}{a}$.

5. **Quand tu obtiens ton résultat** → écris l'unité (cm, m) et vérifie que la taille est cohérente (plus grand doit rester plus grand).

- **Mélanger l'ordre des longueurs dans les fractions.** Écrire $\frac{AM}{AB}=\frac{AC}{AN}$ au lieu de $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$. Règle : dans chaque fraction, le point de départ commun (A) doit être en haut ET en bas au même « niveau ». Les segments d'un même côté vont ensemble.

- **Multiplier tout droit au lieu d'en croix.** Faire $4 \times 6 = 5 \times AC$ : faux. On multiplie en diagonale ($4 \times AC = 6 \times 5$), jamais numérateur × numérateur.

- **Oublier de diviser à la fin.** S'arrêter à $4 \times AC = 30$ et écrire « AC = 30 ». Il reste l'étape $30 \div 4 = 7{,}5$.

- **Appliquer le produit en croix sans vérifier les parallèles.** Si (MN) n'est PAS parallèle à (BC), l'égalité de Thalès est fausse dès le départ — le calcul, même correct, donne un résultat faux.

- **Confondre le nombre par lequel diviser.** Diviser par 6 (le dénominateur connu) au lieu de 4 (le coefficient réellement collé à l'inconnue). On divise toujours par le nombre multiplié à $x$.

Imagine deux poteaux plantés verticalement le long d'une route qui monte. Si tu prends des photos depuis un même point (le sommet), les deux poteaux et le sol forment des triangles emboîtés. Question : les deux poteaux sont-ils vraiment parallèles entre eux ?

Le **théorème de Thalès direct** dit : « SI c'est parallèle, ALORS les longueurs sont proportionnelles. »

La **réciproque** fait le chemin inverse : « SI les longueurs sont proportionnelles (et bien rangées), ALORS c'est parallèle. »

Autrement dit, la réciproque est un **détecteur de parallélisme** : tu mesures des rapports de longueurs, et s'ils sont égaux, tu as le droit d'affirmer que deux droites ne se croiseront jamais. C'est puissant : on prouve du parallélisme sans règle ni équerre, juste avec des calculs.

**Énoncé rigoureux de la réciproque du théorème de Thalès :**

Soit deux droites sécantes en un point A. Soit B et M deux points de la première droite, C et N deux points de la seconde droite.

Si les deux conditions suivantes sont réunies :

1. Les points **A, B, M sont alignés** ET les points **A, C, N sont alignés dans le même ordre** (A, B, M dans le même ordre que A, C, N) ;

2. Les rapports sont égaux : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ ;

alors les droites **(BC) et (MN) sont parallèles**.

**Les mots difficiles :**

- *Réciproque* : proposition qui échange l'hypothèse et la conclusion d'un théorème. Ici on part de l'égalité des rapports pour conclure au parallélisme.

- *Dans le même ordre* (ou « dans le même sens ») : en partant de A, on doit rencontrer les points de la même façon sur les deux droites. Si sur une droite l'ordre est A puis B puis M, sur l'autre ce doit être A puis C puis N. C'est la condition qui empêche les configurations « en papillon » (croisées) où les droites ne sont PAS parallèles.

**À quoi ça sert :** prouver rigoureusement que deux droites sont parallèles à partir de mesures, calculer si un montage est bien d'aplomb, résoudre des problèmes de géométrie où on doit justifier un parallélisme avant d'utiliser une autre propriété (angles, etc.).

**Attention à la nuance clé :** il ne suffit PAS que les rapports soient égaux ; il faut AUSSI l'alignement dans le même ordre. Sans cette vérification de l'ordre, la réciproque est fausse.

**Énoncé :** Les points A, B, M sont alignés et A, C, N sont alignés. On donne :

AB = 4 cm, AM = 6 cm, AC = 5 cm, AN = 7,5 cm. Les points sont rangés dans l'ordre A, B, M sur la première droite et A, C, N sur la seconde. Les droites (BC) et (MN) sont-elles parallèles ?

**Étape 1 — Repérer quelle réciproque appliquer.**

On me demande de PROUVER un parallélisme à partir de longueurs → c'est la réciproque de Thalès. *Pourquoi :* le sens « longueurs → parallèle » est justement le rôle de la réciproque.

**Étape 2 — Vérifier l'alignement et l'ordre.**

A, B, M alignés dans cet ordre ; A, C, N alignés dans cet ordre. Les deux droites passent par A et les points sont dans le même ordre. *Pourquoi :* c'est la condition obligatoire ; si l'ordre était inversé, je n'aurais pas le droit de conclure même avec des rapports égaux.

**Étape 3 — Calculer le premier rapport.**

$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{6}{4} = 1,5$$

*Pourquoi :* je mets au numérateur les longueurs allant vers les points "lointains" (M, N) et au dénominateur les points "proches" (B, C), en gardant chaque droite dans son propre rapport.

**Étape 4 — Calculer le second rapport.**

$$\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{7,5}{5} = 1,5$$

*Pourquoi :* je construis le rapport correspondant sur la deuxième droite, dans le même ordre (point lointain sur point proche).

**Étape 5 — Comparer.**

$$\dfrac{AM}{AB} = 1,5 \quad \text{et} \quad \dfrac{AN}{AC} = 1,5 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$$

Les deux rapports sont égaux. *Pourquoi :* l'égalité des rapports, combinée à l'alignement dans le même ordre vérifié à l'étape 2, permet d'appliquer la réciproque.

**Étape 6 — Conclure avec la phrase de justification.**

« Comme les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre et que $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) sont parallèles. » *Pourquoi :* en géométrie, la conclusion doit toujours citer la propriété utilisée, sinon la preuve n'est pas valable.

**Contre-exemple express :** si on avait eu AN = 7 cm, alors $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{7}{5} = 1,4 \neq 1,5$. Les rapports seraient différents → on conclurait que (BC) et (MN) **ne sont PAS parallèles**.

**Quand tu dois prouver que deux droites sont parallèles avec des longueurs :**

1. **Repère la configuration** : deux droites qui se coupent en un point (souvent A), avec deux paires de points. Si on te donne des longueurs et qu'on demande « sont-elles parallèles ? », c'est la réciproque.

2. **Vérifie et écris l'alignement dans le même ordre** : nomme les points de chaque droite et assure-toi qu'ils sont rangés pareil à partir du sommet. Note-le explicitement dans ta copie.

3. **Calcule le rapport de la première droite** sous forme décimale ou fractionnaire (ex. $\frac{AM}{AB}$).

4. **Calcule le rapport correspondant de la seconde droite** en gardant le même ordre (ex. $\frac{AN}{AC}$).

5. **Compare les deux résultats** : mets-les sous la même forme (décimale ou fraction simplifiée) pour comparer sans erreur.

6. **Conclus** : s'ils sont égaux ET l'ordre respecté → « d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites sont parallèles ». S'ils sont différents → les droites ne sont pas parallèles.

7. **Rédige la phrase de justification complète** en citant la réciproque et en nommant les droites concernées.

- **Oublier de vérifier l'ordre des points.** Beaucoup d'élèves calculent seulement les rapports. Or si les points sont dans un ordre inversé (configuration croisée « en nœud papillon »), les rapports peuvent être égaux sans que les droites soient parallèles. L'alignement dans le même ordre est une condition obligatoire, pas un détail.

- **Mélanger les longueurs des deux droites dans un même rapport**, par exemple écrire $\frac{AM}{AC}$ au lieu de $\frac{AM}{AB}$. Chaque rapport doit rester à l'intérieur d'UNE seule droite : $\frac{AM}{AB}$ pour la première, $\frac{AN}{AC}$ pour la seconde.

- **Comparer $\frac{6}{4}$ et $\frac{7,5}{5}$ sans les calculer** et conclure « ça a l'air pareil ». Il faut réduire chaque rapport à la même forme (ici 1,5 = 1,5) : une comparaison à vue n'est pas une preuve.

- **Utiliser le théorème direct au lieu de la réciproque.** Écrire « d'après le théorème de Thalès » quand on prouve un parallélisme est une faute : le direct suppose le parallélisme au départ, la réciproque le conclut. Il faut bien écrire « d'après la **réciproque** ».

- **Conclure « parallèles » quand les rapports sont différents.** Si $\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC}$, la conclusion correcte est que les droites **ne sont pas** parallèles — et non « on ne peut pas savoir ».

- **Oublier la phrase de conclusion citant la propriété.** Un calcul juste sans justification rédigée ne rapporte pas les points : la démonstration doit nommer la réciproque et les droites (BC) et (MN).