Les multiples de 3 : les reconnaître et les fabriquer

Imagine que tu ranges des billes dans des sachets qui contiennent EXACTEMENT 3 billes chacun. Si tu peux remplir tes sachets sans qu'il te reste aucune bille toute seule, alors ton nombre de billes est un **multiple de 3**.

- 6 billes → 2 sachets pleins (3 + 3). Parfait : 6 est un multiple de 3.

- 7 billes → 2 sachets pleins et 1 bille qui traîne. Raté : 7 n'est pas un multiple de 3.

Un multiple de 3, c'est donc un nombre qu'on peut fabriquer en ajoutant des paquets de 3, encore et encore : 3, puis 3+3, puis 3+3+3…

**Définition rigoureuse :** un nombre est un *multiple de 3* si on l'obtient en multipliant 3 par un nombre entier (0, 1, 2, 3, 4…).

Autrement dit, les multiples de 3 sont les résultats de la table de 3 :

- 3 × 0 = **0**

- 3 × 1 = **3**

- 3 × 2 = **6**

- 3 × 3 = **9**

- 3 × 4 = **12**

- 3 × 5 = **15**

- 3 × 6 = **18** … et ainsi de suite à l'infini.

**Mots difficiles :**

- *Entier* : un nombre sans virgule (0, 1, 2, 3…). On ne compte pas des demi-paquets.

- *Diviser sans reste* : quand on partage en groupes de 3, il ne reste rien. On dit que le nombre est **divisible par 3**. « Multiple de 3 » et « divisible par 3 » veulent dire la même chose vue des deux côtés.

**À quoi ça sert ?** À partager équitablement (3 enfants, 3 équipes), à repérer des régularités en calcul, et plus tard à simplifier des fractions et à factoriser. C'est une brique de base pour toute l'arithmétique.

**Le truc magique — le critère de divisibilité :** un nombre est multiple de 3 si la **somme de ses chiffres** est elle-même un multiple de 3. Ça évite de faire la division !

**Question : 51 est-il un multiple de 3 ?**

**Étape 1 — J'additionne les chiffres.**

5 + 1 = 6.

*Pourquoi ?* Le critère dit que ce qui compte, ce n'est pas le nombre entier mais la somme de ses chiffres. C'est un raccourci fiable.

**Étape 2 — Je regarde si cette somme (6) est dans la table de 3.**

6 = 3 × 2. Oui, 6 est un multiple de 3.

*Pourquoi ?* Si la somme des chiffres est multiple de 3, alors le nombre de départ l'est aussi. C'est la règle.

**Étape 3 — Je conclus.**

Donc 51 est un multiple de 3.

**Étape 4 — Je vérifie par la division.**

51 ÷ 3 = 17, et 3 × 17 = 51, reste 0.

*Pourquoi vérifier ?* Pour être sûr : reste 0 confirme que 51 se range parfaitement en paquets de 3. ✅

**Contre-exemple rapide : 52 ?** 5 + 2 = 7. Or 7 n'est pas dans la table de 3 (il est entre 6 et 9). Donc 52 n'est PAS un multiple de 3. (Vérif : 52 ÷ 3 = 17 reste 1.)

**Quand on te demande « est-ce un multiple de 3 ? » :**

1. **Additionne tous les chiffres** du nombre.

2. Si le résultat est encore grand, **additionne à nouveau** ses chiffres (ex : pour 987 → 9+8+7 = 24 → 2+4 = 6).

3. Regarde si ce petit total est **0, 3, 6 ou 9** (les multiples de 3 à un chiffre).

4. Si **oui → c'est un multiple de 3**. Si non → ce n'en est pas un.

5. En cas de doute, **vérifie par la division** : divise par 3, le reste doit être 0.

**Quand on te demande d'écrire des multiples de 3 :** récite la table de 3 (3, 6, 9, 12…) ou ajoute 3 à chaque fois au nombre précédent.

- **Oublier que 0 est un multiple de 3.** 3 × 0 = 0, donc 0 en fait bien partie. Beaucoup l'oublient.

- **Confondre « chiffre 3 dans le nombre » et « multiple de 3 ».** 13 contient un 3 mais 1+3 = 4 → 13 N'EST PAS un multiple de 3. À l'inverse, 24 ne contient aucun 3 mais 2+4 = 6 → 24 EST un multiple de 3.

- **Croire que tous les nombres pairs sont multiples de 3.** 8 est pair mais 8 n'est pas multiple de 3. Pair = divisible par 2, c'est autre chose.

- **S'arrêter trop tôt dans l'addition des chiffres.** Pour 99 : 9+9 = 18, et il faut continuer 1+8 = 9 → oui, multiple de 3. Si tu t'arrêtes à 18 sans le reconnaître, tu peux te tromper (18 est aussi multiple de 3, mais le refaire lève le doute).

- **Additionner au lieu de tester la somme.** Le critère fonctionne uniquement pour 3 (et 9). Ne l'utilise pas tel quel pour vérifier un multiple de 4 ou de 7.

Imagine que tu montes un escalier magique où chaque marche mesure exactement 3 cm de haut. Quand tu poses le pied sur la 1re marche, tu es à 3 cm. Sur la 2e, à 6 cm. Sur la 3e, à 9 cm. Tu ne peux JAMAIS t'arrêter entre deux marches : tu es toujours à un nombre qui « saute de 3 en 3 ».

Les **multiples de 3**, c'est exactement ça : tous les nombres sur lesquels tu tombes en sautant de 3 en 3 à partir de 0. La table de 3 est la liste de ces marches : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30…

Fabriquer un multiple de 3, c'est répondre à la question : « Si je répète le nombre 3 plusieurs fois et que je les additionne, qu'est-ce que j'obtiens ? »

Un **multiple de 3** est un nombre qu'on obtient en multipliant 3 par un nombre entier (0, 1, 2, 3, 4…).

- « Entier » veut dire un nombre sans virgule : 0, 1, 2, 3… (pas 2,5).

- Autrement dit : *multiple de 3 = 3 × (un entier)*.

La **table de 3** est justement la machine à fabriquer ces multiples :

| 3 × … | Résultat (le multiple) |

|---|---|

| 3 × 0 | 0 |

| 3 × 1 | 3 |

| 3 × 2 | 6 |

| 3 × 3 | 9 |

| 3 × 4 | 12 |

| 3 × 5 | 15 |

| 3 × 6 | 18 |

| 3 × 7 | 21 |

| 3 × 8 | 24 |

| 3 × 9 | 27 |

| 3 × 10 | 30 |

**À quoi ça sert ?** Reconnaître les multiples de 3 permet de partager en 3 parts égales (3 enfants, 3 équipes, 3 rangées), de compter vite des objets groupés par 3 (des tricycles ont 3 roues, un triangle a 3 côtés), et plus tard de simplifier des fractions et faire des divisions.

Un point clé : chaque multiple s'obtient en **ajoutant 3 au précédent**. C'est la même chose que la multiplication, mais vue comme une addition répétée :

- 3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.

**Problème : fabriquer le 6e multiple de 3 (c'est-à-dire 3 × 6), de deux façons.**

**Façon 1 — l'addition répétée (pour comprendre).**

- Étape 1 : j'écris le nombre 3 six fois : 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3. *Pourquoi ?* Parce que « 3 × 6 » signifie « prendre 6 paquets de 3 ».

- Étape 2 : j'additionne deux par deux : (3+3) = 6, puis (6+3) = 9, puis (9+3) = 12, puis (12+3) = 15, puis (15+3) = 18. *Pourquoi additionner petit à petit ?* Pour ne pas se tromper, on avance d'un saut de 3 à la fois.

- Étape 3 : résultat = **18**.

**Façon 2 — la table (pour aller vite).**

- Étape 1 : je pars du multiple d'avant, 3 × 5 = 15. *Pourquoi ?* Parce que je connais déjà 3 × 5.

- Étape 2 : j'ajoute un paquet de 3 : 15 + 3 = 18. *Pourquoi +3 ?* Parce que passer de « 5 paquets » à « 6 paquets », c'est ajouter UN seul paquet de 3.

- Étape 3 : je vérifie que c'est un vrai multiple → 18 est bien dans la table (3-6-9-12-15-**18**). ✔

Les deux façons donnent **18** : c'est rassurant, on a trouvé le même résultat par deux chemins.

1. **Quand tu veux le multiple « 3 × un petit nombre » et que tu ne le connais pas par cœur :** pars de 0 et saute de 3 en 3, en comptant les sauts. Le nombre de sauts = le nombre par lequel tu multiplies.

2. **Quand tu connais le multiple d'avant :** ajoute simplement 3 (ex : je sais 3 × 7 = 21, alors 3 × 8 = 21 + 3 = 24).

3. **Quand tu veux vérifier qu'un nombre est un multiple de 3 :** additionne ses chiffres ; si la somme est dans la table de 3, le nombre l'est aussi. Ex : 24 → 2 + 4 = 6, et 6 est un multiple de 3 → 24 aussi.

4. **Quand tu dois écrire la table en entier :** écris 0, puis ajoute 3 à chaque fois, et arrête-toi à 3 × 10 = 30.

5. **Quand tu doutes d'un résultat :** recalcule par l'autre méthode (addition répétée OU +3 depuis le voisin). Même réponse = c'est juste.

- **Commencer la table à 3 en croyant que 0 n'existe pas.** 3 × 0 = 0, et 0 est bien un multiple de 3. On l'oublie souvent parce qu'il « ne se voit pas ».

- **Ajouter 2 au lieu de 3 en récitant.** Beaucoup disent « 3, 6, 9, 11… » : après 9 on ajoute 3, donc **12**, pas 11. Vérifie toujours que l'écart entre deux nombres est bien 3.

- **Confondre « multiple de 3 » et « nombre qui contient un 3 ».** 13 contient un 3 mais n'est PAS un multiple de 3 (13 : 1+3 = 4, et 4 n'est pas dans la table). À l'inverse 18 ne contient aucun 3 mais EST un multiple de 3.

- **Croire que 3 × 6 et 6 × 3 donnent des résultats différents.** C'est le même résultat : 18. On peut ranger les paquets dans l'ordre qu'on veut.

- **Sauter une marche en récitant vite (…12, 15, 21…).** On oublie 18. Compte sur tes doigts un saut = un doigt pour ne rien perdre.

Imagine que tu dois répartir une poignée de billes en tas de 3, sans qu'il en reste. Plutôt que de compter toutes les billes une par une, il existe un raccourci magique : tu regardes seulement les **chiffres** du nombre, tu les additionnes, et si ce petit total tient dans la table de 3, alors le grand nombre aussi !

Exemple éclair : le nombre **123**. Additionne ses chiffres : 1 + 2 + 3 = 6. Or 6 est dans la table de 3 (3 × 2 = 6). Donc **123 est un multiple de 3**. Pas besoin de poser la division : tu l'as su en 2 secondes.

C'est comme goûter une cuillère de soupe pour savoir si toute la casserole est salée : un petit test suffit pour juger l'ensemble.

**Un multiple de 3** est un nombre qu'on obtient en multipliant 3 par un nombre entier (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…). Autrement dit, c'est un nombre qui se divise par 3 **sans reste** (le reste vaut 0).

**Le critère de divisibilité par 3 :**

> Un nombre est divisible par 3 **si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.**

« Somme des chiffres » veut dire : on additionne chaque chiffre séparément. Pour 4 782, la somme des chiffres est 4 + 7 + 8 + 2 = 21.

**À quoi ça sert ?** À tester très vite de gros nombres sans faire la division, à simplifier des fractions (savoir si on peut diviser en haut et en bas par 3), et à vérifier ses calculs. C'est un outil de rapidité et de contrôle.

**Pourquoi ça marche (l'idée cachée) :** 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1… Or 9, 99, 999 sont tous des multiples de 3. Quand on décompose un nombre, tout ce qui vient des « 9, 99, 999 » est déjà divisible par 3 ; il ne reste donc à tester que la somme des chiffres. Tu n'as pas à retenir cette preuve, mais elle explique la magie.

**Question : 5 214 est-il un multiple de 3 ?**

**Étape 1 — Repérer les chiffres.** Les chiffres sont 5, 2, 1 et 4.

*Pourquoi :* le critère travaille sur les chiffres un par un, pas sur le nombre entier.

**Étape 2 — Additionner les chiffres.** 5 + 2 + 1 + 4 = 12.

*Pourquoi :* c'est cette somme, bien plus petite, qui décide pour tout le nombre.

**Étape 3 — Tester la somme.** Est-ce que 12 est dans la table de 3 ? Oui : 3 × 4 = 12.

*Pourquoi :* si la somme est un multiple de 3, le nombre de départ l'est aussi.

**Étape 4 — Conclure.** Donc **5 214 est un multiple de 3**.

**Vérification :** 5 214 ÷ 3 = 1 738, sans reste. Le raccourci avait raison, et il a été bien plus rapide que la division.

**Cas où la somme est encore grande :** pour 999, la somme est 9 + 9 + 9 = 27. Si tu hésites sur 27, ré-additionne : 2 + 7 = 9, et 9 est dans la table de 3. Donc 999 est un multiple de 3. On peut répéter l'astuce autant de fois qu'il faut.

1. **Quand tu vois un nombre à tester,** écris ses chiffres séparément.

2. **Additionne tous les chiffres** pour obtenir une somme.

3. **Regarde cette somme :** est-elle dans la table de 3 (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27…) ?

4. **Si la somme est encore trop grande** pour décider, additionne à nouveau les chiffres de la somme, jusqu'à obtenir un petit nombre.

5. **Si oui → le nombre est un multiple de 3.** Si non → ce n'est pas un multiple de 3.

6. **En cas de doute, vérifie** en posant la division par 3 : le reste doit être 0.

- **Regarder seulement le dernier chiffre.** Pour 2 (pair) ou 5, on regarde le chiffre des unités, mais **pas pour 3**. 13 finit par 3 et n'est pourtant PAS un multiple de 3 (1 + 3 = 4, pas dans la table). Il faut toujours additionner TOUS les chiffres.

- **Croire qu'un nombre pair est forcément multiple de 3.** 14 est pair mais 1 + 4 = 5 : ce n'est pas un multiple de 3. Pair et multiple de 3 sont deux choses différentes.

- **Oublier un chiffre dans la somme,** surtout les zéros ou les chiffres du milieu. Pour 306 : 3 + 0 + 6 = 9 → multiple de 3. Si on oublie le 0 on tombe encore sur 9 par chance, mais pour 3 001 (3 + 0 + 0 + 1 = 4, non), oublier les zéros fausse tout.

- **Confondre « somme divisible par 3 » et « chiffre 3 présent ».** Le nombre 3 000 000 contient plein de zéros et un 3 : somme = 3, donc multiple de 3. Mais 31 contient un 3 et n'est pas multiple de 3 (3 + 1 = 4). Ce qui compte, c'est la somme, jamais la présence du chiffre 3.

- **Arrêter trop tôt quand la somme reste grande.** Si tu obtiens 24 et que tu ne sais pas, ré-additionne : 2 + 4 = 6 → oui. Ne conclus pas « non » juste parce que le résultat n'est pas dans la petite table apprise par cœur.

Imagine que tu ranges des billes dans des sachets de 3 billes chacun, sans jamais qu'il en reste une seule toute seule. Si tu peux vider tout ton tas dans des sachets pleins de 3, alors le nombre de billes est un **multiple de 3**. S'il te reste 1 ou 2 billes orphelines à la fin, ce n'est pas un multiple de 3.

Multiplier par 3, c'est faire des paquets de 3. Un multiple de 3, c'est un nombre qu'on peut fabriquer avec ces paquets : 3, 6, 9, 12, 15… (c'est la table de 3 qui continue à l'infini).

Un nombre est un **multiple de 3** s'il est le résultat de 3 × un nombre entier.

Exemples : 3 = 3×1, 12 = 3×4, 21 = 3×7. Le nombre 0 est aussi un multiple de 3 (3×0 = 0).

**Mot difficile — « multiple »** : c'est ce qu'on obtient quand on multiplie 3 par 1, 2, 3, 4… On dit aussi que ce nombre est « divisible par 3 », c'est-à-dire que la division par 3 tombe juste, **sans reste** (reste = 0).

**Le truc magique pour vérifier (critère de divisibilité par 3)** : additionne tous les chiffres du nombre. Si cette somme est un multiple de 3, alors le nombre de départ l'est aussi.

Exemple rapide : 24 → 2 + 4 = 6, et 6 est dans la table de 3, donc 24 est un multiple de 3.

**À quoi ça sert ?** À partager équitablement en 3 parts égales, à repérer très vite si une division va tomber juste, et à contrôler ses calculs. C'est aussi la base pour simplifier les fractions plus tard.

**Question : 4 731 est-il un multiple de 3 ?**

- **Étape 1 — J'additionne les chiffres : 4 + 7 + 3 + 1 = 15.**

Pourquoi ? Parce que le critère dit que le comportement du nombre face à 3 se lit dans la somme de ses chiffres, bien plus simple à examiner que 4 731 lui-même.

- **Étape 2 — Je regarde si 15 est un multiple de 3.**

15 = 3 × 5. Oui ! Si je doute encore, je réadditionne : 1 + 5 = 6, et 6 = 3×2.

Pourquoi ? Je remplace un gros nombre par un petit que je connais par cœur dans la table de 3.

- **Étape 3 — Je conclus : 4 731 EST un multiple de 3.**

Pourquoi ? Parce que la somme (15) est un multiple de 3, donc le nombre entier l'est aussi.

- **Étape 4 — Je vérifie par la division : 4 731 ÷ 3 = 1 577, reste 0.**

Pourquoi ? Un reste de 0 confirme qu'on a bien fait des paquets de 3 sans bille orpheline. 3 × 1 577 = 4 731 : c'est cohérent.

1. **Quand tu vois un petit nombre (≤ 30)** : récite la table de 3 (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30). S'il y est, c'est un multiple de 3.

2. **Quand tu vois un grand nombre** : additionne tous ses chiffres.

3. **Si la somme est encore grande**, additionne à nouveau les chiffres du résultat jusqu'à obtenir un tout petit nombre.

4. **Regarde ce petit nombre** : s'il vaut 0, 3, 6 ou 9 → c'est un multiple de 3. Sinon, non.

5. **Quand on te demande de LISTER les multiples de 3** : pars de 3 et ajoute 3 à chaque fois (3, 6, 9, 12…), ou calcule 3×1, 3×2, 3×3…

6. **Pour être sûr(e) de ta réponse**, vérifie par la division : le reste doit être 0.

- **Confondre « chiffre pair » et « multiple de 3 ».** 14 est pair mais n'est PAS un multiple de 3 (1+4 = 5). À l'inverse, 15 est impair mais EST un multiple de 3. La parité ne dit rien sur le 3.

- **Croire que si le nombre finit par 3, 6 ou 9, c'est gagné.** Faux : 16 finit par 6 mais 1+6 = 7 → pas multiple de 3. Le critère porte sur la SOMME des chiffres, pas sur le dernier chiffre (ça, c'est la règle du 5 ou du 10).

- **Oublier un chiffre en additionnant.** Pour 108, il faut faire 1+0+8 = 9 (multiple de 3), et surtout ne pas « sauter » le 0.

- **S'arrêter à une somme encore grande sans conclure.** Pour 999 → 9+9+9 = 27 ; beaucoup s'arrêtent là en doutant. Continue : 2+7 = 9 → multiple de 3.

- **Confondre multiple et diviseur.** 3 est un DIVISEUR de 12 ; 12 est un MULTIPLE de 3. Le multiple est toujours plus grand (ou égal), il est « dans la table ».